Question

设A={x|≥1}，B={x|x²-2x+2m＜0}．
（1）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值；
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意知：A={x|-1＜x≤5}，
又∵A∩B={x|-1＜x≤4}，∴x=4必为方程x²-2x+2m=0的一根，
即 4²-8+2m=0，解得m=-4．…（4分）
（2）（ⅰ）当B=∅时，满足B⊆A，此时必有方程x²-2x+2m=0的△≤0，即4-8m≤0，
解得 m≥．…（6分）
（ⅱ）当B≠∅时，要使B⊆A，必有方程x²-2x+2m=0的两根满足-1＜x₁＜x₂≤5，
则，即，解得-≤m≤．…（10分）
综上知：若B⊆A，则m≥-．…（12分）
分析：（1）解分式不等式≥1，可以求出集合A，由A∩B={x|-1＜x＜4}，结合不等式解集的端点与方程根的关系，可得x=4必为方程x²-2x+2m=0的一根，代入构造关于m的方程，即可求出实数m的值；
（2）若B⊆A，我们分B=∅时，此时方程x²-2x+2m=0的△≤0，B≠∅时，要使B⊆A，必有方程x²-2x+2m=0的两根
满足-1＜x₁＜x₂≤5，最后综合讨论结果，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，集合的交集及其运算，其中（1）的关键是根据不等式解集的端点与方程根的关系，得到x=4必为方程x²-2x+2m=0的一根；（2）的关键是要对集合B进行分类讨论，解答时，易忽略B=∅时，满足B⊆A，而将（2）错解为-≤m≤．