Question

已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y≤2，则

2

x+3y

+

1

x-y

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：设x-y=t＞0，x+y≤2，2y+t≤2，0＜t＜2．可得

2

x+3y

+

1

x-y

=

2

4y+t

+

1

t

≥

2

4-t

+

1

t

=f（t），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：设x-y=t＞0，x+y≤2，2y+t≤2，0＜t＜2．
∴

2

x+3y

+

1

x-y

=

2

4y+t

+

1

t

≥

2

4-t

+

1

t

=f（t），
f′（t）=

2

(4-t)2

-

1

t2

=

(t+4+4 2 )(t+4-4 2 )

(4t-t2)2

，
当2＞t＞4

2

-4时，f′（t）＞0，此时函数f（t）单调递增；当0＜t＜4

2

-4时，f′（t）＜0，此时函数f（t）单调递减．
∴当t=4

2

-4时，f（t）取得最小值，f(4

2

-4)=

3+2 2

4

．
∴

2

x+3y

+

1

x-y

的最小值为

3+2 2

4

．
故答案为：

3+2 2

4

．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．