Question

（2012•丰台区一模）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=

2

，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；
（Ⅲ）若

PQ

PC

=λ，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面POB，即可证明AD⊥PB；
（Ⅱ）证明PO⊥底面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量为

n1

=(1，0，0)，平面DQC的法向量

n2

=(

3

，1，-

3

)，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（Ⅲ）求出平面DEQ法向量为

n1

=(1-λ，0，2λ-1)，利用PA∥平面DEQ，即

PA

•

n1

=0，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接OP，OB，BD．
因为PA=PD，所以PO⊥AD．      …（1分）
因为菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以AB=BD，所以BO⊥AD．      …（2分）
因为BO∩PO=O，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥PB．      …（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BO⊥AD，PO⊥AD．
因为侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以PO⊥底面ABCD．     …（6分）
以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz．…（7分）
则D（-1，0，0），E(-1，

3

，0)，P（0，0，1），C(-2，

3

，0)，
因为Q为PC中点，所以Q(-1，

3

2

，

1

2

)．                   …（8分）
所以

DE

=(0，

3

，0)，

DQ

=(0，

3

2

，

1

2

)，所以平面DEQ的法向量为

n1

=(1，0，0)．
因为 

DC

=(-1，

3

，0)，

DQ

=(0，

3

2

，

1

2

)，
设平面DQC的法向量为

n2

=(x，y，z)，则

DC • n2 =0 DQ • n2 =0

，∴

-x+ 3 y=0 3 2 y+ 1 2 z=0.

令x=

3

，则y=1，z=-

3

，即

n2

=(

3

，1，-

3

)．         …（9分）cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

21

7

．
由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为

21

7

．       …（10分）
（Ⅲ）解：因为

PQ

PC

=λ，所以 

PQ

=λ

PC

，
由（Ⅱ）知

PC

=(-2，

3

，-1)，

PA

=(1，0，-1)，
若设Q（x，y，z），则

PQ

=(x，y，z-1)，
由 

PQ

=λ

PC

，得

x=-2λ y= 3 λ z=-λ+1

，
在平面DEQ中，

DE

=(0，

3

，0)，

DQ

=(x+1，y，z)=(1-2λ，

3

λ，1-λ)，
所以平面DEQ法向量为

n1

=(1-λ，0，2λ-1)，…（12分）
又因为PA∥平面DEQ，所以

PA

•

n1

=0，…（13分）
即（1-λ）+（-1）（2λ-1）=0，得λ=

2

3

．
所以，当λ=

2

3

时，PA∥平面DEQ．                         …（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线线垂直，考查线面平行，考查面面角，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是解题的关键．