Question

如图，已知点F是抛物线x²=4y的焦点，直线l为准线，点A是抛物线上一点．以F点为圆心，|AF|为半径作圆M交抛物线的准线l于点B．若A，B，F三点共线，则|AC|=（　　）

• A、

  16

  3

• B、16
• C、

  8

  3

• D、8

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意A、B、F三点在同一条直线上，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°．利用抛物线的定义可得到∠ABD=30°．即可得到直线的斜率，得到直线的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式，即可得出结论．

解答： 解：以F点为圆心，|AF|为半径作圆M交抛物线的准线l于点B，D，则
由题意A、B、F三点在同一条直线m上，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABD=30°．
∴直线AB的斜率为

3

3

．
∴直线AB的方程为y=

3

3

x+1．
代入x²=4y，可得x²-

4 3

3

x-4=0，
∴|AC|=

1+ 1 3

•

( 4 3 3 )2+16

=

16

3

，
故选：A．

点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、圆的性质、含30°的直角三角形的性质、直线的方程等基础知识与基本技能方法，属于基础题．