Question

已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，求

1

x

+

1

y

的值．

Answer 1

分析：由G为三角形的重心则

AG

=

1

3

（

AB

+

AC

），结合

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，我们根据M，G，N三点共线，易得到x，y的关系式，整理后即可得到

1

x

+

1

y

的值．

解答：解：根据题意G为三角形的重心，

AG

=

1

3

（

AB

+

AC

），

MG

=

AG

-

AM

=

1

3

（

AB

+

AC

）-x

AB

=(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

，

GN

=

AN

-

AG

=y

AC

-

AG

=y

AC

-

1

3

(

AB

+

AC

)
=(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

，
由于

MG

与

GN

共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得

MG

=λ

GN

，
即(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

=λ[(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

]，
即

1 3 -x=- 1 3 λ 1 3 =λ(y- 1 3 )

∴

1 3 -x

- 1 3

=

1 3

y- 1 3

即x+y-3xy=0
两边同除以xy整理得

1

x

+

1

y

=3．

点评：本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据

MG

与

GN

共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得

MG

=λ

GN

，进而得到x，y的关系式，是解答本题的关键．