Question

已知向量=（2cosωx，-1），=（sinωx-cosωx，2），函数f（x）=•+3的周期为π．
（Ⅰ） 求正数ω；
（Ⅱ） 若函数f（x）的图象向左平移，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=+3=（2cosωx，-1）•（sinωx-cosωx，2）+3 …（1分）
=2cosωx（sinωx-cosωx）+1 …（2分）
=2sinωxcosωx-2cos²ωx+1 …（3分）
=sin2ωx-cos2ωx …（4分）
=sin． …（5分）
∵T=π，且ω＞0，∴ω=1．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=sin，…（7分）
y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得 g（x）=•sin=2sin2x． …（9分）
由2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z；…（10分）
解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z；…（11分）
∴函数g（x）的单调增区间为，k∈Z．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为sin，根据周期求出ω的值．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=sin，再根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得 g（x）=•sin=2sin2x，由2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，即可得到函数g（x）的单调增区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调增区间，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．