Question

2．已知函数f（x）=x+$\frac{2}{x}$，用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

分析 按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解．

解答 证明：设x₁、x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁、x₂∈（0，1），∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴（x）在（0，1）上是减函数．

点评 本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．