Question

若f（x）为定义在R上的函数，且f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则f（x）为 （　　）

A、奇函数且周期函数

B、奇函数且非周期函数

C、偶函数且周期函数

D、偶函数且非周期函数

Answer 1

分析：令t=10+x代入第一个式子，结合第二个式子判断出函数是奇函数；再令x-10=m结合已知的式子求出函数的周期是20．

解答：解：令t=10+x，则10-x=20-t，f（t）=f（20-t），
∴f（20+t）=f（-t）
∵f（20+x）=-f（20-x）
∴f（t）=-f（-t），∴f（x）是奇函数
∴f（10-x）=f（x-10）=f（x+10），
令x-10=m，则x+10=m+20，
有f（m）=f（m+20），所以f（x）是以T=20为周期的奇函数．
故选A．

点评：本题考察了函数的奇偶性和周期性，利用整体代换和题意求出函数的周期，以及判断出函数的奇偶性．