Question

规定=，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广.

（1）求的值.

（2）设x＞0，当x为何值时，取最小值？

（3）我们知道组合数具有如下两个性质：

①=；②+=.

是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.

（4）已知组合数是正整数，证明当x∈Z，m是正整数时，∈Z.

 

Answer 1

思路解析：本题是有关组合数知识的延伸，着重考查考生接受新知识的能力.在解决过程中，要注意充分利用题目中的C^m_x的定义以及结合所学的相关知识，从而将问题解决.

解：（1）==-680.

（2）==(x+-3)，

∵x＞0，x+≥2，当且仅当x=时，等号成立.∴当x=时，取得最小值.

（3）性质①不能推广.例如当x=时，有意义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是+=，x∈R，m是正整数，事实上

    当m=1时，有+=x+1=，当m≥2时，

C^m_x+C^m-1_x=+=

(+1)== ，

（4）证明：当x≥m时，组合数∈Z.

    当0≤x＜m时，=0∈Z，当x＜0时，∵-x+m+1＞0，

∴==(-1)^m，∈Z.