Question

规定＝，其中x∈R，m是正整数，且＝1，这是组合数(n、m是正整数，且m≤n)的一种推广．

(1)求的值；

(2)组合数的两个性质：

①＝；②＋＝．

是否都能推广到(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给出证明；若不能推广，则说明理由；

(3)已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)＝＝－＝－11628． 　　(2)性质①不能推广．例如当x＝时，有定义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是＋＝，x∈R，m是正整数，事实上当m＝1时，有＋＝x＋1＝， 　　当m≥2时， 　　＋＝ 　　＝[＋1] 　　＝＝ 　　(3)证明：当x≥m时，组合数∈Z．当0≤x＜m时，＝0∈Z．当x＜0时， 　　∵－x＋m－1＞0， 　　∴＝ 　　＝(－1)m 　　＝(－1)m∈Z．