Question

1．设f（x）=2cosx（cosx-sinx）+sin2x，x∈R．
（1）求该函数的最小正周期；
（2）请你限定一个闭区间D，求函数y=f（x），x∈D的反函数y=f^-1（x），并指出y=f^-1（x）的奇偶性、单调性、零点．（不必证明）

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式化简，得到f（x）=cos2x+1，根据周期的定义即可求出，
（2）设f（x）=1+cos2x的一个闭区间D为[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求出y=f^-1（x），并画出，由图象得到答案，

解答 解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+sin2x=2cos²x-2sinxcos+sin2x=2cos²x=1+cos2x，
T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（2）设f（x）=1+cos2x的一个闭区间D为[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
反函数y=f^-1（x）=$\frac{1}{2}$arccos（x-1），x∈[0，2]，其图象如图所示，
y=f^-1（x）为非奇非偶函数，在[0，2]上单调递减，零点为x=2．

点评 本题考查了三角形函数的化简和周期的求法以及反函数的性质，属于基础题．