Question

11．已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（1）若直线y=kx与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（2）若m＜0，讨论函数g（x）=f（x）+mx²零点的个数．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的反函数，设出切点的坐标，从而求出k的值；（2）问题掌握求函数f（x）=e^x和h（x）=-mx²的交点问题，画出图象读出即可．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x的反函数为y=lnx，${y}^{′}=\frac{1}{x}$，
设直线y=kx与f（x）的反函数的图象相切于点P（x₀，lnx₀），
∴$k=\frac{1}{{x}_{0}}$，lnx₀=kx₀，
解得x₀=e，k=$\frac{1}{e}$；
（2）令g（x）=f（x）+mx²=e^x+mx²=0，
得：e^x=-mx²，∵m＜0，∴-m＞0，
画出函数f（x）=e^x和h（x）=-mx²，如图示：
∴函数g（x）有2个零点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．