Question

已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为

3

2

，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根sin2x-

1+ 3

2

sinx+

3

4

=0．

Answer 1

分析：设AD=k，进而根据AB表示出DB，进而根据直角三角形的性质可知CD²=AD•DB，进而整理得关于k的一元二次方程，求得k，进而求得两个锐角的值为30°，60°分别代入sin2x-

1+ 3

2

sinx+

3

4

=0，结果为0判断出三角形的两个锐角是原三角方程的根．

解答：证明：设AD=k（如图）
∵AB=2，
∴DB=2-k．
由CD²=AD•DB，
∴(

3

2

)2=k(2-k)，
k2-2k+

3

4

=0，k=

3

2

或

1

2

．
在直角△ACD中，
当AD=k=

3

2

时，tgA=

CD

AD

=

3 2

3 2

=

3

3

，
∴A=30°，B=60°．
当AD=k=

1

2

时，tgA=

CD

AD

=

3 2

1 2

=

3

，
∴A=60°，B=30°．
总之，两锐角一为30⁰，一为60⁰．
当x=30°时，代入原方程中得sin230°-

1+ 3

2

sin30°+

3

4

=(

1

2

)2-

1+ 3

2

•

1

2

+

3

4

=0；
当x=60°时，代入原方程中得sin260°-

1+ 3

2

sin60°+

3

4

=(

3

2

)2-

1+ 3

2

•

3

2

+

3

4

=0．；
故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根．

点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，方程的根，解三角形等问题．