Question

（本小题满分14分）如图，△ABC的外接圆⊙的半径为，CD⊙所在的平面，BE//CD，CD=4，BC=2，且BE=1，.

（1）求证：平面ADC平面BCDE；

（2）求几何体ABCDE的体积；

（3）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB       ……   1分

∴   

∵BE=1   ∴  ，        

从而      ……   2分

∵⊙的半径为，∴AB是直径，∴AC⊥BC

……   3分

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE      ……   5分

（2）由（1）知：，         ……   6分

                              ……   9分

（3）方法一：

假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF

∵平面ADC平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，

∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角                              ……   10分

设MN=x，计算易得，DN=，MF=                         ……   11分

故

                        ……   12分

解得：（舍去） ，                                     ……   13分

故，从而满足条件的点存在，且            ……   14分

方法二：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，则：

A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0）      

则  ………………………   10分

易知平面ABC的法向量为，

假设M点存在，设，则，                       

再设

，即，从而

       …………………………   11分

设直线BM与平面ABD所成的角为，则：

   …………………………   12分

解得，                               …………………………   13分

其中应舍去，而

故满足条件的点M存在，且点M的坐标为      …………………………   14分