Question

如图，以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．
（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比．

Answer 1

分析：（1）如四面体A₁-ABC或四面体C₁-ABC或四面体A₁-ACD或四面体C₁-ACD；该四面体的四个面都是直角三角形；
（2）如四面体B₁-ABC或四面体D₁-ACD；该四面体的任一对对棱垂直；
（3）如四面体A-B₁CD₁；设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其中四面体A-B₁CD₁的体积等于长方体的体积减去4个角上的三棱锥的体积即得．

解答：解：（1）如四面体A₁-ABC或四面体C₁-ABC或四面体A₁-ACD或四面体C₁-ACD；---（4分）
（2）如四面体B₁-ABC或四面体D₁-ACD；-------------------------（8分）
（3）如四面体A-B₁CD₁（（3分） ）；-------------------------（11分）
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则

abc-4× 1 6 abc

abc

=

1

3

．---------（14分）

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征、棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，属于基础题．