Question

如图，在直三棱柱ABC―A_lB_lC₁中，AB⊥BC，E是A₁C的中点，ED⊥A₁C且交AC于D，  A₁A=AB=BC．

(1)证明：B₁C₁//平面A₁BC；

(2)证明：A₁C⊥平面EDB；

(3)求平面A₁AB与平面EDB所成的二面角的大小(仅考虑平面角为锐角的情况)．

Answer 1

解：(1)∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，B₁C₁//BC，又BC平面A₁BC，且B_lC₁平面A₁BC，

    ∴B₁C₁//平面A₁BC．

    (2)∵三棱柱ABC―A_lB_lC₁中，A₁A⊥AB，

    ∴Rt△A₁AB中，AB=A₁B．

    ∴BC=A₁B，∴△A₁BC是等腰三角形．

    ∵E是等腰三角形△A₁BC底边A₁C的中点，

    ∴A₁C⊥BE，又A₁C⊥ED，且ED∩BE=E，

    ∴A₁C⊥平面EDB．

    (3)∵A₁A、ED平面A₁AC，且A₁A、ED不平行，故延长A₁A，ED后必相交．

设交点为F，连接BF，如图．

∴A₁―BF―E是所求的角．

    依条件易证明Rt△A₁EF≌Rt△A₁AC．

    ∵E为A₁C中点，∴A为A₁F中点，

    ∴AF=A₁A=AB，∴∠A₁BA=∠ABF=45°

    ∴∠A₁FB=90°，即A₁B⊥FB．

    又A₁E⊥平面EFB，∴EB⊥FB

    ∴∠A₁BE是所求的二面角的平面角．

    ∵E为等腰直角三角形A₁BC底边的中点，

    ∴∠A₁BE=45°．

    故所求的二面角的大小为45°．