Question

15．若0＜x≤$\frac{π}{3}$，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． [-1，2]
• C． （0，2]
• D． （1，$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域求得t=sinx+cosx 的范围，再利用二次函数的性质求得y的最值，可得y的值域．

解答 解：∵0＜x≤$\frac{π}{3}$，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
则t²=1+2sinxcosx，∴sinx•cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，y=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$•（t+1）²-1，
故当t=1时，函数y取得最小值为1，当t=$\sqrt{2}$时，函数y取得最小值为2+2$\sqrt{2}$，
故函数的值域为 （1，2+2$\sqrt{2}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．