Question

（2012•杭州二模）已知正实数x，y满足等式x+y+8=xy，若对任意满足条件的x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是

（-∞，

65

8

]

．

Answer 1

分析：先根据等式确定x+y≥8，再将对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，转化为a≤(x+y)+

1

x+y

对任意满足条件的正实数x，y恒成立，求出右边的最小值，即可得到结论．

解答：解：∵正实数x，y满足等式x+y+8=xy
∴x+y+8≤

(x+y)2

4

∴（x+y-8）（x+y+4）≥0
∵x+y+4≥0
∴x+y-8≥0
∴x+y≥8（当且仅当x=y=4时，取等号）
∵对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0
∴a≤(x+y)+

1

x+y

对任意满足条件的正实数x，y恒成立
令t=x+y（t≥8），则f（t）=t+

1

t

在（8，+∞）上为单调增函数
∴f（t）=t+

1

t

≥8+

1

8

=

65

8

（当且仅当t=8，即x=y=4时，取等号）
∴a≤

65

8

∴实数a的取值范围是（-∞，

65

8

]
故答案为：（-∞，

65

8

]

点评：本题考查基本不等式的运用，考查利用函数的单调性求函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是将对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，转化为a≤(x+y)+

1

x+y

对任意满足条件的正实数x，y恒成立．