Question

【题目】已知椭圆（）的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆的下顶点，交椭圆于另一点、的面积.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于、两点，点关于轴的对称点为，问：直线是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线过定点

【解析】

（1）根据椭圆离心率的公式和椭圆中的关系，可以判断出的形状，最后结合椭圆的定义和三角形的面积公式进行求解即可；

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数关系，三点共线进行求解即可.

（1）由椭圆的离心率，则，，，

∴是等腰直角三角形，

又，

在中，，即.

解得，，，

∴的面积为，，，

∴椭圆方程为.

（2）设，，则，

设直线与轴交于点，直线的方程为（），

由有，

，，

，，

由、、三点共线，，即，

将，代入整理得，

即，

从而，即，解得，此时满足.

则直线的方程为，故直线过定点.

（其他解法正确同样给分）