Question

10．如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分线交BC于D，则$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{AC}$的值等于（　　）

• A． $\frac{17}{5}$
• B． $\frac{33}{5}$
• C． 6
• D． $\frac{27}{5}$

Answer 1

分析 根据三角形内角平分线的性质得$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$，从而求出$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），再计算$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的结果即可．

解答 解：△ABC中，AD为内角A的平分线，
由三角形内角平分线的性质可得：
$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AC}$
=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{5}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{3}{5}$×2×3×cos60°+$\frac{2}{5}$×3²
=$\frac{27}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积与内角平分线性质的应用问题，是基础题目．