Question

12．求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率：
（1）x²-8y²=32；
（2）9x²-y²=81；
（3）x²-y²=-4；
（4）$\frac{{x}^{2}}{49}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=-1．

Answer 1

分析 先求出双曲线的标准方程，然后求出a，b，c的值，由此利用双曲线性质能求出双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率．

解答 解：（1）∵x²-8y²=32，∴$\frac{{x}^{2}}{32}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴$a=\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{4}$=2，c=$\sqrt{32+4}$=6，
∴双曲线的实轴2a=8$\sqrt{2}$、虚轴的长2b=4，
顶点A₁（-4$\sqrt{2}$，0），A₂（4$\sqrt{2}$，0）、
焦点的坐标F₁（-6，0），F₂（6，0），
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵9x²-y²=81，∴$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{81}=1$，
∴a=$\sqrt{9}$=3，b=$\sqrt{81}$=9，c=$\sqrt{9+81}$=3$\sqrt{10}$，
∴双曲线的实轴2a=6、虚轴的长2b=18，
顶点A₁（-3，0），A₂（3，0）、
焦点的坐标F₁（-3$\sqrt{10}$，0），F₂（3$\sqrt{10}$，0），
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
（3）∵x²-y²=-4，∴$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
∴a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{4}$=2，c=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴双曲线的实轴2a=4、虚轴的长2b=4，
顶点A₁（0，-2），A₂（0，2）、
焦点的坐标F₁（0，-2$\sqrt{2}$），F₂（0，2$\sqrt{2}$），
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
（4）∵$\frac{{x}^{2}}{49}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=-1，∴$\frac{{y}^{2}}{25}-\frac{{x}^{2}}{49}$=1，
∴a=$\sqrt{25}$=5，b=$\sqrt{49}$=7，c=$\sqrt{25+49}$=$\sqrt{74}$，
∴双曲线的实轴2a=10、虚轴的长2b=14，
顶点A₁（0，-5），A₂（0，5）、
焦点的坐标F₁（0，-$\sqrt{74}$），F₂（0，$\sqrt{74}$），
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．