Question

已知数列{a_n}满足：a₁++ +…+＝n²+2n（其中常数λ＞0，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和．若对任意n∈N^*，都有(1-λ)S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）a_n＝(2n＋1)·λ^n－1  (n∈N^*)．（2）不存在这样的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列．（3）当0＜λ＜1时，结论成立．
本试题主要是考查了数列的通项公式以及数列的求和、和不等式的成立的证明综合运用。
（1）根据已知条件可知利用前n项和与通项公式之间的关系得到通项公式。
（2）因为当λ＝4时，a_n＝(2n＋1)·4^n－1．
若存在a_r，a_s，a_t成等比数列，则[(2r＋1)·4^r－1] [(2t＋1)·4^t－1]＝(2s＋1)²·4^2s－2．
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 ^{r＋t －2s}＝(2s＋1)²，可以判定为等比数列。
（3）因为S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1．，需要对于参数λ分情况讨论得到和式的求解，以及不等式的证明。