Question

设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x+a3（a₀，a₁，a₂，a₃∈R），当x=-1时，f（x）取极大值

2

3

，且函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-

2

，

2

]上；
（Ⅲ）设xn∈[

1

2

，1)，ym∈(-

2

，-

2

3

2

]，求证：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）是奇函数，可得f(x)=a1x3+a2x，根据当x=-1时，f（x）取极大值

2

3

，建立方程组，即可求得函数的不等式；
（ II）设所求两点为（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[[-

2

，

2

]，利用两点为切点的切线互相垂直即可求得点的坐标；
（III）确定f（y_m）的最大值，f（x_n）的最小值，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）是奇函数，所以f(x)=a1x3+a2x．
由题意当x=-1时，f（x）取极大值

2

3

，得

f′(-1)=3a1+a2=0 f(-1)=-a1-a2= 2 3

，所以

a1= 1 3 a2=-1

，f(x)=

1

3

x3-x．
所以，所求f(x)=

1

3

x3-x．…（4分）
（ II）解：f'（x）=x²-1．设所求两点为（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[[-

2

，

2

]，得f′(x1)f′(x2)=(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=-1
因为

x

2 1

-1，

x

2 2

-1∈[-1，1]，所以

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1

即x₁=0，x₂=±

2

或x₁=±

2

，x₂=0
从而可得所求两点的坐标为：（0，0），(

2

，-

2

3

)或者（0，0），(-

2

，

2

3

)．…（8分）
（III）证明：xn∈[

1

2

，1)，当x∈[

1

2

，1)时，f'（x）＜0，即在[

1

2

，1)上递减，得f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]．
∵ym∈(-

2

，-

2

3

2

]，由导数可得f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，即f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]，
所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的最值是关键．