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(2013•江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=
12
13
,cosC=
3
5

(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
分析:(1)作出相应的图形,根据cosC的值,求出tanC的值,设出BD表示出DC,由cosA的值,求出tanA的值,由BD表示出AD,进而表示出AB,由CD+AD=AC,列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,即可确定出AB的长;
(2)设乙出发xmin后到达点M,此时甲到达N点,如图所示,表示出AM与AN,在三角形AMN中,由余弦定理列出关系式,将表示出的AM,AN及cosA的值代入表示出MN2,利用二次函数的性质即可求出MN取最小值时x的值;
(3)由(1)得到BC的长,由AC的长及甲的速度求出甲到达C的时间,分两种情况考虑:若甲等乙3分钟,此时乙速度最小,求出此时的速度;若乙等甲3分钟,此时乙速度最大,求出此时的速度,即可确定出乙步行速度的范围.
解答:解:(1)∵cosA=
12
13
,cosC=
3
5

∴tanA=
5
12
,tanC=
4
3

如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=15k,AD=48k,AB=52k,
由AC=63k=1260m,解得:k=20,
则AB=52k=1040m;
(2)设乙出发xmin后到达点M,此时甲到达N点,如图所示,
则AM=130xm,AN=50(x+2)m,
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2AM•ANcosA=7400x2-14000x+10000,
其中0≤x≤10,当x=
35
37
min时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短;
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时为1260÷50=
126
5
(min),
若甲等乙3分钟,则乙到C用时为
126
5
+3=
141
5
(min),在BC上同时为
86
5
(min),
此时乙的速度最小,且为500÷
86
5
=
1250
43
≈29.07(m/min);
若乙等甲3分钟,则乙到C用时为
126
5
-3=
111
5
(min),在BC上用时为
56
5
(min),
此时乙的速度最大,且为500÷
56
5
=
2500
56
≈44.64(m/min),
则乙步行的速度控制在[29.07,44.64]范围内.
点评:此题考查了余弦定理,锐角三角函数定义,以及勾股定理,利用了分类讨论及数形结合的思想,属于解直角三角形题型.
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