Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2^-x的反函数是y=-log₂x；
③若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中所有正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①由y=x|x|，y=bx均为奇函数，知函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，x，y互换，得函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③根据对数函数的值域为R，则R⁺为y=x²+ax-a值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断③的真假；
④y=f（x-1）是偶函数，它的图象关于y轴（x=0）对称．y=f（x）是由y=f（x-1）向左平移1个单位得到，故可判断④的真假．

解答：解：①∵y=x|x|，y=bx均为奇函数，故函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0，故①成立；
②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，x，y互换，得函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1），故②成立；
③若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则y=x²+ax-a的图象与x轴有交点，即a²+4a≥0，故a≤-4或a≥0，故③成立；
④y=f（x-1）是偶函数，它的图象关于y轴（x=0）对称．y=f（x）是由y=f（x-1）向左平移1个单位得到．故：y=f（x）关于x=-1对称，故④不成立．
故答案为：①②③．

点评：本题考查的知识点是充要条件，反函数的定义，函数的奇偶性，函数的值域，掌握函数的三要素及三大性质是解答函数类问题的关键．