Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数
（2）试判断f（x）的单调性，并求f（x）在[-3，3]上的最值
（3）解不等式：f（x²-x）-f（x）≥-6．

Answer 1

分析：（1）通过赋值，先令x=y=0⇒f（0）=0，再令y=-x即可证得f（x）是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，利用函数单调性的定义，作差f（x₁）-f（x₂）判断即可判断f（x）的单调性，结合题意即可求得f（x）在[-3，3]上的最值．
（3）利用函数的单调性与已知关系f（x+y）=f（x）+f（y）与f（1）=-2，即可求得不等式f（x²-x）-f（x）≥-6的解集．

解答：解：（1）令x=y=0，则f（0）=0，
再令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由x＞0时，f（x）＜0知，f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为R上的递减函数，
∴当x∈[-3，3]时，
f（x）_min=f（3）=f（1+2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6；
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=6；
（3）∵f（x²-x）-f（x）≥-6=f（3），
∴f（x²-x）≥f（3）+f（x）=f（3+x），又f（x）为R上的递减函数，
∴x²-x≤3+x，
解得：-1≤x≤3．
∴原不等式的解集为{x|-1≤x≤3}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断及应用，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，属于中档题．