Question

13．（1）△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三内角A，B，C的对边．用分析法证明$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$．
（2）已知a是整数，a²是偶数，用反证法证明a也是偶数．

Answer 1

分析 （1）用分析法证明，结合余弦定理可得结论．
（2）假设命题的反面成立，由此推出出矛盾，可得假设不正确，命题得证．

解答 （1）证明：要证明$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$，只要证明$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$，（2分）
只要证明$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$，只要证明c（b+c）+a（a+b）=（a+b）•（b+c），
只要证明c²+a²=ac+b²，（5分）
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴∠B=60°，（7分）
由余弦定理，有b²=c²+a²-2accos60°，即b²=c²+a²-ac，∴c²+a²=ac+b²．
故原命题成立，得证．（9分）
（2）证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．（11分）
设a=2n+1（n∈Z），则a²=4n²+4n+1．（13分）
∵4（n²+n）是偶数，（15分）
∴4n²+4n+1是奇数，这与已知a²是偶数矛盾．（17分）
由上述矛盾可知，a一定是偶数．（18分）

点评 本题主要考查了等差关系、余弦定理的应用和解三角形问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．反证法证明数学命题的方法和步骤，由假设证出矛盾，是证题的关键．