Question

3．过点（$\sqrt{2}$，0）引直线l与曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为多少．

Answer 1

分析 画出曲线y= $\sqrt{1-{x}^{2}}$的图象，数形结合分析k的取值范围，进而表示出△AOB的面积，利用基本不等式可得答案．

解答 解：曲线y= $\sqrt{1-{x}^{2}}$的图象如图所示：

若直线l与曲线相交于A，B两点，
则直线l的斜率k＜0，
设l：y=k（x- $\sqrt{2}$），则点O到l的距离d=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（1-{d}^{2}）}$•d=$\sqrt{（1-{d}^{2}）{d}^{2}}$≤$\frac{1-{d}^{2}+{d}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当1-d²=d²，即d=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，S最最大值，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，基本不等式，难度中档．