Question

15．已知a＞0且a≠1，用比较法证明：aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）．

Answer 1

分析 通过作差、变形可知（aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$）-（a+$\frac{1}{a}$）=（aⁿ-a）•$\frac{{a}^{n+1}-1}{{a}^{n+1}}$，分0＜a＜1、a＞1两种情况讨论，定号即得结论．

解答 证明：（aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$）-（a+$\frac{1}{a}$）=（aⁿ-a）+（$\frac{1}{{a}^{n}}$-$\frac{1}{a}$）
=（aⁿ-a）+$\frac{a-{a}^{n}}{{a}^{n+1}}$
=（aⁿ-a）（1-$\frac{1}{{a}^{n+1}}$）
=（aⁿ-a）•$\frac{{a}^{n+1}-1}{{a}^{n+1}}$，
∵a＞0且a≠1，
∴0＜a＜1或a＞1，
当0＜a＜1时，aⁿ-a＜0、aⁿ⁺¹-1＜0，
∴aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）；
当a＞1时，aⁿ-a＞0、aⁿ⁺¹-1＞0，
∴aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）；
综上所述，aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）．

点评 本题考查用比较法证明不等式，作差、变形、定号是一般步骤，注意解题方法的积累，属于中档题．