Question

6．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x³-1|．

Answer 1

分析 |x-1|≤4|x³-1||x-1|≤4|（x-1）（x²+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x²+x+1）|，分类讨论，即可证明结论．

解答 证明：|x-1|≤4|x³-1||x-1|≤4|（x-1）（x²+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x²+x+1）|
x=1时，左式=右式=0，符合题意；
x≠1时，x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{4}$，所以4|x-1||（x²+x+1）|＞|x-1|；
综上，x∈R时，|x-1|≤4|x³-1|．

点评 本题考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．