Question

18．设x₁，x₂为函数f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）两个不同零点．
（1）若x₁=1，且对任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），求f（x）；
（2）若b=2a-3，则关于x的方程f（x）=|2x-a|+2是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）两个不同零点分别为x₁=1，x₂=3，从而解得；
（2）由题意只需讨论$x≤\frac{a}{2}$即可，从而化简可得ax²+（2a-2）x-a-1=0，从而可知${x_0}=\frac{{-（2a-2）-\sqrt{{{（2a-2）}^2}+4a（a+1）}}}{2a}=-[{（1-\frac{1}{a}）+\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+2}}]$，从而解得．

解答 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），
∴函数f（x）关于x=2对称，
∵x₁=1，∴x₂=3，
故1+3=-$\frac{b-1}{a}$，1•3=$\frac{1}{a}$，
解得：$a=\frac{1}{3}，b=-\frac{1}{3}$，
故$f（x）=\frac{1}{3}{x^2}-\frac{4}{3}x+1$；
（2）∵a＞0，∴只需讨论$x≤\frac{a}{2}$即可，当$x≤\frac{a}{2}$时，
∵f（x）=|2x-a|+2，
∴ax²+（2a-4）x+1=a-2x+2，
即ax²+（2a-2）x-a-1=0，
∵$△={（2a-2）^2}+4a（a+1）=8{a^2}-4a+4＞0\;\;\;\;\;\;且\frac{-a-1}{a}＜0$，
∴关于x的方程f（x）=|2x-a|+2存在唯一负实根x₀，
${x_0}=\frac{{-（2a-2）-\sqrt{{{（2a-2）}^2}+4a（a+1）}}}{2a}=-[{（1-\frac{1}{a}）+\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+2}}]$，
令$t=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\;\;\;\;则t＞-\frac{1}{2}$，
${x_0}=-[{\frac{1}{2}-t+\sqrt{{t^2}+\frac{7}{4}}}]=-[{\frac{1}{2}+\frac{{\frac{7}{4}}}{{t+\sqrt{{t^2}+\frac{7}{4}}}}}]$在$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$上单调递增，
则${x_0}∈（{-1-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查了函数的零点的判断与应用，同时考查了分类讨论的应用．