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已知直线l:x=4与x轴相交于点M,P是平面上的动点,满足PM⊥PO(O是坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过直线l上一点D(D≠M)作曲线C的切线,切点为E,与x轴相交点为F,若
DE
=
1
2
DF
,求切线DE的方程.
分析:(1)设P(x,y),由PM⊥PO得kPM•kPO =-1,整理可得动点P的轨迹C的方程为(x-2)2+y2=22(x≠0且x≠4).
(2)由切线的性质可得DE=DM,因为
DE
=
1
2
DF
,故有 DF=2DE=2DM,在△CEF中,求出CE=2 可得CF=4,F(-2,0),
由切线的倾斜角求得切线DE的斜率,点斜式求得切线DE的方程.
解答:解:(1)依题意,M(4,0),设P(x,y)(x≠0且x≠4),由PM⊥PO得kPM•kPO =-1,
即 
y
x-4
y
x
=-1
,整理得,动点P的轨迹C的方程为(x-2)2+y2=22(x≠0且x≠4).
(2)DE、DM都是圆(x-2)2+y2=22的切线,所以,DE=DM,
因为
DE
=
1
2
DF
,所以DF=2DE=2DM,所以,∠DFM=
π
6

设C(2,0),在△CEF中,∠CEF=
π
2
∠CFE=
π
6
,CE=2,所以,CF=4,F(-2,0),
切线DE的倾斜角α=
π
6
,或
6
.  所以,切线DE的斜率k=
3
3
,或-
3
3

故切线DE的方程为y=±
3
3
(x+2)
点评:本题考查求点的轨迹方程的方法,用点斜式求直线的方程,其中,轨迹方程中x≠0且x≠4容易被忽视,是易错点.
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