Question

（2012•汕头一模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）求三棱锥F-CBE的体积．

Answer 1

分析：1）利用线面垂直的性质定理可得CB⊥AF．再利用圆的直径所对圆周角是直角的性质可得AF⊥BF，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）取线段CD的中点N，连接MN，ON．利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质定理可得：MN∥DF，OA∥DA，利用面面平行的判定定理可得：平面OMN∥平面DAF，利用其性质定理即可得出线面平行；
（3）由（1）可得：BC⊥平面ABEF，即BC为三棱锥C-BEF的高，由已知可得△OEF是边长为1的等边三角形即可得出其面积，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答：（1）证明：∵矩形ABCD⊥平面ABEF，矩形ABCD∩平面ABEF，BC⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，∴CB⊥AF．
由AB为圆O的直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF．
又BC∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．
（2）证明：取线段CD的中点N，连接MN，ON．又M为CF的中点，∴MN∥DF，
∵DN

∥

.

OA，∴四边形OADN为平行四边形，∴OA∥DA．
∵ON∩MN=N，∴平面OMN∥平面DAF，
∴OM∥平面DAF．
（3）连接OE，OF，则OE=OF=EF=1，∴△OEF为等边三角形，∴S△OEF=

3

4

×12=

3

4

，
∴V_F-CBE=V_C-BEF=

1

3

S△BEF•BC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．

点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、等边三角形的性质、三棱锥的体积、圆的性质等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．