Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，若动点A在椭圆C上，动点B在直线y=$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$上．（c为椭圆的半焦距）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB（O为坐标原点），试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意得：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，及其a²=b²+c²，解出即可得出．
（Ⅱ）解法一：依题意知直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y=kx，
（1）若k≠0，则直线OB的方程为$y=-\frac{1}{k}x$，设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），与椭圆方程联立可得${x}_{A}^{2}$，${x}_{B}^{2}$，|OA|=$\sqrt{{x}_{A}^{2}+{y}_{A}^{2}}$，|OB|=$\sqrt{{x}_{B}^{2}+{y}_{B}^{2}}$，设点O到直线AB的距离为d，可得d=$\frac{2{S}_{△AOB}}{|AB|}$=$\frac{|OA||OB|}{\sqrt{|OA{|}^{2}+|OB{|}^{2}}}$，即可得出．（2）若k=0，求得A，B的坐标即可得出．
解法二：设A、B的坐标A（x₀，y₀）、$B（t，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，由点A在椭圆C上和OA⊥OB分别可得：$\frac{x_0^2}{3}+y_0^2=1$和$t{x_0}+\frac{{\sqrt{6}}}{2}{y_0}=0$，设点O到直线AB的距离为d，则有|OA|•|OB|=|AB|•d，化简整理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意得：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
两式相乘可得：b=1，
又$\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{2}{3}$，解得a²=3，
∴所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）解法一：依题意知直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y=kx，
（1）若k≠0，则直线OB的方程为$y=-\frac{1}{k}x$，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则由$\left\{\begin{array}{l}{y_A}=k{x_A}\\ \frac{x_A^2}{3}+y_A^2=1\end{array}\right.⇒x_A^2=\frac{3}{{3{k^2}+1}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y_B}=-\frac{1}{k}{x_B}\\ y_B^{\;}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}\end{array}\right.⇒x_B^2=\frac{{3{k^2}}}{2}$，
∵$|OA|=\sqrt{x_A^2+y_A^2}=\sqrt{1+{k^2}}|{x_A}|=\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}}$，
∴$|OB|=\sqrt{x_B^2+y_B^2}=\sqrt{1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}|{x_B}|=\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}}$，
设点O到直线AB的距离为d，则$d=\frac{{2{S_{△AOB}}}}{|AB|}=\frac{|OA|•|OB|}{{\sqrt{|OA{|^2}+|OB{|^2}}}}=\frac{{\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}}•\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}}}}{{\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}+\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}}}}=\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3（{k^2}+1）}}=1$．
（2）若k=0，则A点的坐标为$（-\sqrt{3}，0）$或$（\sqrt{3}，0）$，B点的坐标为$（0，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，
这时，$d=\frac{{\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{6}}}{2}}}{{\sqrt{3+\frac{6}{4}}}}=1$，
综上得点O到直线AB的距离为定值，其值为1，
解法二：设A、B的坐标A（x₀，y₀）、$B（t，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，
由点A在椭圆C上和OA⊥OB分别可得：$\frac{x_0^2}{3}+y_0^2=1$和$t{x_0}+\frac{{\sqrt{6}}}{2}{y_0}=0$，
设点O到直线AB的距离为d，则有|OA|•|OB|=|AB|•d，
∴|OA|²•|OB|²=|AB|²•d²$⇒\frac{1}{d^2}=\frac{{|AB{|^2}}}{{|OA{|^2}•|OB{|^2}}}=\frac{{|OA{|^2}+|OB{|^2}}}{{|OA{|^2}•|OB{|^2}}}$，
∴$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}=\frac{1}{x_0^2+y_0^2}+\frac{1}{{{t^2}+{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}}}=\frac{1}{x_0^2+y_0^2}+\frac{1}{{\frac{{{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}y_0^2}}{x_0^2}+{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}}}=\frac{1}{x_0^2+y_0^2}+\frac{2}{3}•\frac{x_0^2}{x_0^2+y_0^2}$
=$\frac{3+2x_0^2}{3（x_0^2+y_0^2）}=\frac{3+2x_0^2}{{3（x_0^2+1-\frac{x_0^2}{3}）}}=1$，
所以点O到直线AB的距离为定值，其值为1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．