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    14．某著名歌星在某地举办一次歌友会，有1000人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个实数x，y（x，y∈[0，4]），若满足y≥$\frac{8}{5}x$，电脑显示“中奖”，则抽奖者再次获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不获得特等奖奖金．
    （Ⅰ）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
    （Ⅱ）设特等奖奖金为a元，小李是此次活动的顾客，求小李参加此次活动获益的期望；若该歌友会组织者在此次活动中获益的期望值是至少获得70000元，求a的最大值．

    分析 （Ⅰ）由题意知可化为几何概率模型求解，从而作图求得；
    （Ⅱ）易知E（X）=1000×$\frac{10}{1000}$+a×$\frac{10}{1000}$×$\frac{5}{16}$=10+$\frac{a}{320}$；100000-1000×10-10×$\frac{5}{16}$×a≥70000，从而再解出a的最大值．

    解答 解：（Ⅰ）由题意知作图如下，
    ，
    结合图象可知，阴影内的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×4=5，
    故小明在第二轮抽奖中获奖的概率P=$\frac{5}{16}$；
    （Ⅱ）由题意，
    E（X）=1000×$\frac{10}{1000}$+a×$\frac{10}{1000}$×$\frac{5}{16}$=10+$\frac{a}{320}$；
    故100000-1000×10-10×$\frac{5}{16}$×a≥70000，
    即a≤6400，
    故a的最大值为6400．

    点评 本题考查了概率在实际问题中的应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．

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    （1）求选手甲回答一个问题的正确率；
    （2）求选手甲进入决赛的概率；
    （3）设选手甲在初赛中答题个数为X，试写出X的分布列，并求甲在初赛中平均答题个数．

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    5．已知A、B、C、D、E五所高校举行自主招生考试，某同学决定按A、B、C、D、E的顺序参加考试．假设该同学参加每所高校的考试获得通过的概率为$\frac{1}{3}$．
    （1）如果该同学五所高校的考试都参加，求在恰有两所通过的条件下，不是连续两所通过的概率；
    （2）如果该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加后面高校的考试，假设参加每所高校考试所需的费用均为162元，试求该同学参加考试所需费用X的数学期望．

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    2．已知a、b、c都是正数，求证ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc．

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    9．在平面直角坐标系中，曲线C位于第一、三象限．若曲线C经过点A（2，4），且曲线C上的点到y轴的距离与其到x轴的距离的比是常数，则曲线C的方程是（　　）
    A．2x+y=0B．2x-y=0C．2x+y=0（x≠0）D．2x-y=0（x≠0）

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    19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，若动点A在椭圆C上，动点B在直线y=$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$上．（c为椭圆的半焦距）
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）若OA⊥OB（O为坐标原点），试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．

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    6．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情.2016年春节期间，小鲁在自己的微信好友群中，向在线的甲、乙、丙、丁四位好友随机发放红包，发放的规则为：每次发放一个，每个人抢到的概率相同．
    （1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少抢到一个红包的概率；
    （2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有10元，一个红包中有5元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望．

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