Question

已知经营甲、乙两种商品所获的利润（分别用P，Q万元表示）与投入资金x（万元）的关系有经验公式：P=

1

5

x，Q=

3

5

x

，某公司3万元资金准备投入经营这两种商品，问对这两种商品的资金投入分别为多少时，才能获得最大利润？最大利润为多少？

Answer 1

分析：设对甲商品投入x万元（0≤x≤3）所获总利润为y万元，根据总利润为两种商品所获的利润和建立等式，然后利用换元法转化成二次函数研究最值即可．

解答：解：设对甲商品投入x万元（0≤x≤3）所获总利润为y万元．
则y=P+Q=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3）
令t=

3-x

则0≤t≤

3

∴y=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

≤

21

20

∴当t=

3

2

即x=

3

4

时ymax=

21

20

当对甲投入0.75万元乙投入2.25万元时所获利润最大为1.05万元．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及换元法的应用和利用二次函数的性质求最值，同时考查了计算能力，属于中档题．