Question

（本小题满分12分）
己知双曲线的中心在原点，右顶点为（1，0），点．Q在双曲线的右支上，点（，0）到直线的距离为1．
（Ⅰ）若直线的斜率为且有,求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程．

Answer 1

解：设直线的方程为：，                                   …1分
由点到直线的距离为可知：
得到，                        …3分
因为，所以，
所以 ，或
所以  或；                       …6分
（Ⅱ）当时，，
由于点到直线的距离为，所以直线的斜率，
因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点，所以轴，不妨设直线交轴于点，则，
所以点的坐标为，                                 …9分
所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得，
所以两点的坐标分别为：，
设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到
，                                                …11分
所以双曲线方程为：                          …12分

略