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本小题满分12分)
如图点为双曲线的左焦点,左准线轴于点,点P上的一点,且线段PF的中点在双曲线的左支上.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点,设,当时,求直线的斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)设双曲线方程为),
,∴.------------------------(2分)
在双曲线上,∴
联立①②③,解得.∴双曲线方程为.--------(4分)
注:对点M用第二定义,得,可简化计算.
(Ⅱ),设m,则
,得.--------------------(6分)
,得

,---------------------(8分)
消去
.------------------------(9分)
,函数上单调递增,
,∴.------------------------(10分)
又直线m与双曲线的两支相交,即方程两根同号,
.------------------------------------------------(11分)
,故.------------------------(12分)
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