Question

已知f（x）为R上不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，g（n）=f（2ⁿ）（n∈N），求g（n）．

Answer 1

分析：（1）根据题意，用赋值法，令a=b=0，可得f（0）的值，令a=b=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即可得f（1）；
（2）由（1）中f（1）=0的结论；再令a=b=-1，则f（1）=-2f（-1）=0，可得f（-1）的值，进而令a=x，b=-1，则f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），即可得答案；
（3）根据题意，f（2ⁿ）=f（2×2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），又由f（2）=2，可得f（2ⁿ）=f（2^n-1）+2ⁿ，进而等式可以变形，则数列{

f(2n)

2n

}是首项为

f(2)

2

=1，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得答案．

解答：解：（1）根据题意，对于任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），
令a=b=0，可得f（0）=0，
令a=b=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
（2）由（1）的结论，f（1）=0；
令a=b=-1，则f（1）=-2f（-1）=0，∴f（-1）=0
令a=x，b=-1，则f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x）
f（x）为奇函数．
（3）根据题意，f（2ⁿ）=f（2×2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），
又由f（2）=2，则f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
等式左右两边同除2ⁿ可得

f(2n)

2n

=

f(2n-1)

2n-1

+1，
则数列{

f(2n)

2n

}是首项为

f(2)

2

=1，公差为1的等差数列，
则

f(2n)

2n

=n，f（2ⁿ）=n×2ⁿ．
故g（n）=f（2ⁿ）=n×2ⁿ．

点评：本题考查数列与抽象函数的应用，对于抽象函数一般用赋值法，本题的难点在于将f（2ⁿ）=f（2^n-1）+2ⁿ，通过在等式左右两边同除2ⁿ，得到

f(2n)

2n

=

f(2n-1)

2n-1

+1，由等比数列的性质来解题．