Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=

3

，AA₁=3，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，可以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，给出各点的坐标，由于已知AM⊥BA₁．故可由向量的数量积为0证明AM⊥BC，再由线面垂直的判定定理证明AM⊥平面A₁BC；
（II）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值，可先求出两个平面的法向量，再由公式cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|即可求得所要的结果

解答：证明：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（

3

，0，0），B（0，1，0），A₁（

3

，0，3），
B₁（0，1，3），C₁（0，0，3），

CB

=（0，1，0），（1分）
设M（0，0，t），则

AM

=（

3

，0，t），∴

AM

•

CB

=0
即AM⊥BC，又因为AM⊥BA₁，
所以 AM⊥平面A₁BC  （3分）
解：（Ⅱ）

BA1

=（

3

，-1，3），因为AM⊥BA₁，所以

AM

•

BA1

=-3+3t=0，得t=1，
即M（0，0，1），，可得平面ABM的一个法向量为

n1

=（1，

3

，

3

）  （3分）
又

AB1

=（-

3

，1，3），

AC1

=（-

3

，0，3），，设平面AB₁C₁的一个法向量为

n2

=（X，Y，Z），
则

n2

•

AB1

=0且

n2

•

AC1

=0，得Y=0，x=

3

z，，令z=1，得平面平面AB₁C₁的一个法向量为

n2

=（

3

，0，1），（3分）
设平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角为θ，
则cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2 3

2× 7

=

21

7

  （2分）

点评：本题考查由向量方法证明线面垂直，求两平面的夹角，解题的关键是熟练掌握向量法解决几何问题的方法，本题的难点是正确建系，理解两向量的夹角与两平面夹角的对应关系．