Question

函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）求该f（x）的对称轴，并求在[0，π]的单调递增区间．
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

解：（1）因为函数在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值-1，
所以T=，
所以ω=3．
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以可得 ，
∴函数 ．
（2），所以x=，
所以f（x）的对称轴为x=（k∈Z）；
令-+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，
解得：，k∈Z
又因为x∈[0，π]，
所以令k分别等于0，1，可得x∈，
所以函数在[0，π]上的单调递增区间为．
（3）∵的周期为 ，
∴在[0，2π]内恰有3个周期，
∴在[0，2π]内有6个实根且
同理，，
故所有实数之和为 ．
分析：（1）通过同一个周期内，当 时y取最大值1，当 时，y取最小值-1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间，再由已知中自变量的取值范围，进而得到答案．
（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．
点评：本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．