Question

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）
（1）若a=3，求过点M作圆O的切线的切线长．
（2）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）求出圆的圆心与半径，利用圆心到（1，3）的距离与半径、切线长满足勾股定理，求出切线长即可．
（2）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，则等价为M在圆上，求出a，即可求出切线方程．

解答： 解：（1）当a=3，圆O：x²+y²=4，它的圆心坐标（0，0），半径为2，
圆心到M（1，3）的距离d=

12+32

=

10

，
所以切线长为：

( 10 )2-4

=

10-4

=

6

．
（2）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，
则M在圆上，即1+a²=4，
即a²=3，解得a=±

3

．
则OM的斜率k=

a

1

=a，
则切线的斜率k=-

1

a

，
则切线方程为y-a=-

1

a

（x-1），
即x+ay-a²-1=0，
若a=

3

，则切线方程为x+

3

y-4=0，
若a=-

3

，则切线方程为x-

3

y-4=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．