Question

设集合A={x|x2+(1-

2

2

)x-

2

2

≤0}，B={x|x2-(1-

2

2

)x-

2

2

≤0}，又设函数f（x）=2x²+mx-1．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆（A∪B），求实数m的取值范围．
（2）若对任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，试求当x∈（A∩B）时，函数f（x）的值域．
（3）当m∈（A∪B），x∈（A∩B）时，求证：|f(x)|≤

9

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．

Answer 1

分析：（1）先分别化简集合A，B，可求A∪B=[-1，1]，要使C⊆（A∪B），则

f(-1)≥0 f(1)≥0

，故得解；
（2）先求得）A∩B=[-

2

2

，

2

2

]，由于对任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，可知函数的对称轴为x=1，从而可确定函数f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．，进而可求函数f（x）的值域．
（3）m∈[-1，1]，x∈[-

2

2

，

2

2

]，从而f（x）的最小值为-1，最大值在端点处取得，故可证．

解答：解：（1）由题意，A=[-1，

2

2

]，B=[-

2

2

，1]
∴A∪B=[-1，1]
要使C⊆（A∪B），则

f(-1)≥0 f(1)≥0

∴实数m的取值范围是m≥-1．
（2）A∩B=[-

2

2

，

2

2

]
∵对任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函数的对称轴为x=1
∴m=-4
∴f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
∵x∈（A∩B），
∴函数f（x）的值域为[-2

2

 ，2

2

]．
（3）m∈[-1，1]，x∈[-

2

2

，

2

2

]
∴f（x）的最小值为-1，最大值在端点处取得
∵f(-

2

2

)=-

2

2

m
，f(

2

2

)=

2

2

m
∴|f(x)|≤

9

8

点评：本题以集合为载体，考查函数值域，考查函数的最值，关键是集合的化简．