Question

（1）求证：对任何实数k，x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒过两定点，并求经过该两定点且面积最小的圆E的方程；
（2）若PA，PB为（1）中所求圆E的两条切线，A、B为切点，求

PA

•

PB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）这是一个圆系方程，将x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0转化为：x²+y²-6y-31+k（-2x-2y-2）=0，依题意，解方程组

x2+y2-6y-31=0 -2x-2y-2=0

即可求得两定点及面积最小的圆E的方程；
（2）设PA=PB=x，∠APB=θ，由余弦定理得cosθ=

x2-32

x2+32

，利用向量的数量积可得

PA

•

PB

=（x²+32）+

2048

x2+32

-96，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：（1）∵x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0，
∴x²+y²-6y-31+k（-2x-2y-2）=0，
∴

x2+y2-6y-31=0 -2x-2y-2=0

解此方程组得：

x=-6 y=5

或

x=2 y=-3

，
∴x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒过两定点M（-6，5），N（2，-3）；
∴经过该两定点且面积最小的圆E就是以MN为直径的圆，
∵MN的中点H（-2，1），|MN|=

[2-(-6)]2+(-3-5)2

=8

2

，
∴以MN为直径的圆的方程为：（x+2）²+（y-1）²=32．
②设PA=PB=x，∠APB=θ，
则由余弦定理得：|AB|²=2x²-2x²cosθ=64+64cosθ，
∴cosθ=

x2-32

x2+32

，
∴

PA

•

PB

=x²•

x2-32

x2+32

=

[(x2+32)-32]2-32[(x2+32)-32]

x2+32

=（x²+32）+

2048

x2+32

-96
≥64

2

-96（当且仅当x²+32=

2048

x2+32

，即x²=32(

2

-1)时，取“=”．
故

PA

•

PB

的最小值为64

2

-96．

点评：本题考查圆系方程，考查余弦定理与基本不等式在几何中的综合应用，考查转化思想分析运算能力，属于难题．