Question

2．（1）求y=x+$\frac{1}{x-2}$（x＞2）得最小值．
（2）求（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最小值，其中x＞0，y＞0．

Answer 1

分析 （1）变形为（x-2）$+\frac{1}{x-2}$$≥2\sqrt{（x-2）\frac{1}{x-2}}$=2（x=3时等号成立）即可求解．
（2）展开（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2$+\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$，其中x＞0，y＞0，利用不等式求解即可．

解答 解：（1）∵x＞2，x-2＞0，
∴（x-2）$+\frac{1}{x-2}$$≥2\sqrt{（x-2）\frac{1}{x-2}}$=2（x=3时等号成立）
∴x+$\frac{1}{x-2}$的最小值为2+2=4
故y的最小值为4，当且仅当x=3时等号成立
（2）$\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$$≥2\sqrt{\frac{x}{y}\frac{y}{x}}$=2，
∴2$+\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$≥4（x=y时等号成立）
故最小值为4，当且仅当x=y时等号成立

点评 本题考察了基本不等式的运用求解函数的最值，关键是恒等变形，确定等号成立的条件，属于中档题．