Question

12．对于向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$、$\overrightarrow{{a}_{2}}$、$\overrightarrow{{a}_{3}}$，记$\overrightarrow{{S}_{3}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$，对于$\overrightarrow{{a}_{k}}$（k∈{1，2，3}）如果有|$\overrightarrow{{a}_{k}}$|=|$\overrightarrow{{S}_{3}}$-$\overrightarrow{{a}_{k}}$|，则称向量$\overrightarrow{{a}_{k}}$是这一向量的“等横向量”．
（1）判断向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（2，2），是否是向量组$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（2，2）、$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（sinα，sinα）、$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（cosα，cosα的“等横向量”，并说明理由；
（2）如果向量组$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（sinx，cosx）、$\overrightarrow{{a}_{2}}$（sin2x，cos2x）、$\overrightarrow{{a}_{3}}$（sin3x，cos3x）中的每一个向量都是它的“等横向量”，求x的值；
（3）如果向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（u，v）、$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（sinα、sinα）、$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（cosα，cosα）中的每一个向量都是它的“等横向量”，求u+v的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{{S}_{3}}$=（2+sinα+cosα，2+sinα+cosα），可得$|\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$2\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{2+2sin2α}$≤2，可得$|\overrightarrow{{a}_{1}}|$≠$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$，即可判断出．
（2）由已知可得：$|\overrightarrow{{a}_{1}}|=|\overrightarrow{{a}_{2}}|=|\overrightarrow{{a}_{3}}|$=1，$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{2+2cosx}$=1，化为cosx=-$\frac{1}{2}$；同理由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{2}}|$=1，化为cos2x=-$\frac{1}{2}$；由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{3}}|$=$\sqrt{2+2cosx}$=1，化为cosx=-$\frac{1}{2}$．联立$\left\{\begin{array}{l}{cosx=-\frac{1}{2}}\\{cos2x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得x即可得出．
（3）由已知可得：$|\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}$，$|\overrightarrow{{a}_{2}}|=|\overrightarrow{{a}_{3}}|$=1．由向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$中的每一个向量都是它的“等横向量”．可得$\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}$=$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{2+2sin2α}$，化为u²+v²=2+2sin2α，由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{2}}|$=$\sqrt{2si{n}^{2}α}$，化为u²+v²+2（u+v）cosα+2cos2α=0；由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{3}}|$=$\sqrt{2co{s}^{2}α}$，化为u²+v²+2（u+v）sinα-2cos2α=0．化为（cosα+sinα）（u+v）=2+2sin2α=2（cosα+sinα）²，分类讨论：当cosα+sinα≠0时，当cosα+sinα=0时，即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{{S}_{3}}$=（2+sinα+cosα，2+sinα+cosα），
∵$|\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}+（sinα+cosα）^{2}}$=$\sqrt{2+2sin2α}$≤2，$|\overrightarrow{{a}_{1}}|$≠$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$，
因此向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（2，2）不是“等横向量”；
（2）∵向量组$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（sinx，cosx）、$\overrightarrow{{a}_{2}}$（sin2x，cos2x）、$\overrightarrow{{a}_{3}}$（sin3x，cos3x），
∴$\overrightarrow{{S}_{3}}$=（sinx+sin2x+sin3x，cosx+cos2x+cos3x），
∴$|\overrightarrow{{a}_{1}}|=|\overrightarrow{{a}_{2}}|=|\overrightarrow{{a}_{3}}|$=1，由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{（sin2x+sin3x）^{2}+（cos2x+cos3x）^{2}}$=$\sqrt{2+2cosx}$=1，化为cosx=-$\frac{1}{2}$；
同理由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{2}}|$=$\sqrt{2+cos2x}$=1，化为cos2x=-$\frac{1}{2}$；
由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{3}}|$=$\sqrt{2+2cosx}$=1，化为cosx=-$\frac{1}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{cosx=-\frac{1}{2}}\\{cos2x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得x=$2kπ+π±\frac{π}{3}$（k∈Z）．
∴x值的集合为{x|x=$2kπ+π±\frac{π}{3}$（k∈Z）}．
（3）∵向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（u，v）、$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（sinα、sinα）、$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（cosα，cosα），
∴$\overrightarrow{{S}_{3}}$=（u+sinα+cosα，v+sinα+cosα），
$|\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}$，$|\overrightarrow{{a}_{2}}|=|\overrightarrow{{a}_{3}}|$=1．
∵向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（u，v）、$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（sinα、sinα）、$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（cosα，cosα）中的每一个向量都是它的“等横向量”．
∴$\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}$=$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{1}}|$=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}+（sinα+cosα）^{2}}$=$\sqrt{2+2sin2α}$，化为u²+v²=2+2sin2α，
由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{2}}|$=$\sqrt{（u+cosα）^{2}+（v+cosα）^{2}}$=$\sqrt{2si{n}^{2}α}$，化为u²+v²+2（u+v）cosα+2cos2α=0；
由$|\overrightarrow{{S}_{3}}-\overrightarrow{{a}_{3}}|$=$\sqrt{（u+sinα）^{2}+（v+sinα）^{2}}$=$\sqrt{2co{s}^{2}α}$，化为u²+v²+2（u+v）sinα-2cos2α=0．
化为（cosα+sinα）（u+v）=2+2sin2α=2（cosα+sinα）²，
当cosα+sinα≠0时，u+v=2（cosα+sinα）=2$\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，且不等于0．
当cosα+sinα=0时，$α=\frac{3π}{4}+kπ$（k∈Z），u=v=0．
综上可得：（u+v）∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了新定义“等横向量”、向量的坐标运算及其数量积运算性质、三角函数化简计算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．