Question

已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点．
（1）求椭圆C₂的离心率；
（2）设Q（3，b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C₁上，求C₁和C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1写出其焦点坐标，代入抛物线C₁：x²+by=b²，求得b，c的方程，由a²=b²+c^{2_，可求得}椭圆C₂的离心率；
（2）联立抛物线C₁的方程椭圆C₂的方程，求出M，N的坐标，求出△QMN的重心坐标，代入抛物线C₁，即可求得C₁和C₂的方程．

解答：解：（1）因为抛物线C₁经过椭圆C₂的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
所以c²+b×0=b²，即c²=b²，由a²=b²+c²=2c²
得椭圆C₂的离心率e=

2

2

．
（2）由（1）可知a²=2b²，椭圆C₂的方程为：

x2

2b2

+

y2

b2

=1
联立抛物线C₁的方程x²+by=b²得：2y²-by-b²=0，
解得：y=-

b

2

或y=b（舍去），所以x=±

6

2

b，
即M(-

6

2

b，-

b

2

)， N(

6

2

b，-

b

2

)，所以△QMN的重心坐标为（1，0）．
因为重心在C₁上，所以1²+b×0=b²，得b=1．
所以a²=2．
所以抛物线C₁的方程为：x²+y=1，
椭圆C₂的方程为：

x2

2

+y2=1．

点评：此题是个中档题，考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程．