Question

（2012•台州一模）已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）过点P（0，-2）的直线交抛物线C₁于A，B两点，设抛物线C₁在点A，B处的切线交于点M，
（ⅰ）求点M的轨迹C₂的方程；
（ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C₂上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率k_AQ，k_BQ，k_PQ均存在时，试判断

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）直线方程与抛物线方程联立，求得k的范围，求出抛物线在A，B处的切线方程，联立可求点M的轨迹C₂的方程；
（ⅱ）表示出

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

，利用韦达定理，化简可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意得p+

p

2

=3，则p=2，…（3分）
所以抛物线C₁的方程为x²=4y．                   …（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）设过点P（0，-2）的直线方程为y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-2 x2=4y

得x²-4kx+8=0．
由△＞0，得k＜-

2

或k＞

2

，x₁+x₂=4k，x₁x₂=8．…（7分）
抛物线C₁在点A，B处的切线方程分别为y-y1=

x1

2

(x-x1)，y-y2=

x2

2

(x-x2)，
即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

，y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，
由

y= x1 2 x- x 2 1 4 y= x2 2 x- x 2 2 4

得

x= x1+x2 2 =2k y= x1x2 4 =2.

所以点M的轨迹C₂的方程为y=2 (x＜-2

2

或x＞2

2

）．…（10分）
（ⅱ）设Q（m，2）（|m|＞2

2

），
则kPQ=

4

m

，kAQ=

y1-2

x1-m

，kBQ=

y2-2

x2-m

．…（11分）
所以

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

=

4

m

(

1

kAQ

+

1

kBQ

)=

4

m

(

x1-m

y1-2

+

x2-m

y2-2

)…（12分）
=

4

m

[

(x1-m)(y2-2)+(x2-m)(y1-2)

(y1-2)(y2-2)

]=

4

m

[

2kx1x2-(mk+4)(x1+x2)+8m

k2x1x2-4k(x1+x2)+16

]
=

4

m

[

16k-(mk+4)•4k+8m

8k2-4k•4k+16

]=

4

m

[

8m-4mk2

16-8k2

]=

4

m

[

4m(2-k2)

8(2-k2)

]=2，
即

kPQ

kAQ

+

kPQ

kBQ

为常数2．　                       …（15分）

点评：本题考查抛物线的定义与标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．