Question

已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．

Answer 1

证明：解法1 （分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），（2分）
即证：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d² ，（4分）
即证：2abcd≤a²d²+b²c² ，（6分）
即证：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²，（8分）
上式明显成立．（10分） 故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法2 （综合法）因为a²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd（6分）≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²（9分）=（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法3 （作差法）因为（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）（5分）
=b²c²+a²d²-2abcd（8分）=（b²c²-a²d²）²≥0（10分）
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）． （12分）
分析：解法1 分析法：分析使不等式成立的充分条件，经过分析，使不等式成立的充分条件显然成立，从而证得结论．
解法2 综合法：利用重要不等式 a²d²+b²c²≥2abcd，把（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd 放大，即得要证的不等式．
解法3 作差法：把（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）² 展开化简化成完全平方的形式判断符号，可得其值大于或等于0，从而证得不等式成立．
点评：本题考查用分析法、综合法、作差比较法证明不等式，式子的变形时解题的关键．