Question

11．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₉构成等比数列{b_n}的前3项，则$\frac{{{a_1}+{a_3}+{a_9}}}{{{a_2}+{a_4}+{a_{10}}}}$=$\frac{13}{16}$；又若d=2，则数列{b_n}的前n项的和S_n=3ⁿ-1．

Answer 1

分析 由题意可得（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），可得a₁=d，进而a_n=nd，由等差数列的通项公式代入化简可得$\frac{{{a_1}+{a_3}+{a_9}}}{{{a_2}+{a_4}+{a_{10}}}}$的值；
可得等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，代入求和公式计算可得．

解答 解：由题意a₁，a₃，a₉构成等比数列{b_n}的前3项，
∴a₃²=a₁a₉，∴（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），
∴a₁=d，∴a_n=nd，
∴$\frac{{{a_1}+{a_3}+{a_9}}}{{{a_2}+{a_4}+{a_{10}}}}$=$\frac{（1+3+9）d}{（2+4+10）d}$=$\frac{13}{16}$；
当d=2时，a₁=2，a₃=6，a₉=18，
∴等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，
∴数列{b_n}的前n项的和S_n=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1
故答案为：$\frac{13}{16}$；3ⁿ-1

点评 本题考查等差数列的求和公式，涉及等比数列的求和公式，属中档题．